Teoría+especial+de+la+relatividad

Postulados de Einstein Hasta el siglo XIX el papel del éter era como sistema universal de referencia con respecto al cúal se propagaban las ondas luminosas. Siempre que se analiza el movimiento, nos referimos a éste con respecto a un sistema de referencia. De igual forma, podemos elegir otro sistema de referencia para analizar el mismo movimiento. Cualquier sistema de referencia es igualmente válido, si bien existirá uno que sea más conveniente de usar en un caso particular. Si todo el espacio estuviera lleno de éter, podríamos referir a éste todos los movimientos. Después que el experimento de Michelson-Morley desmostrará la no existencia del éter. Esto implicó que no existía ningún sistema universal de referencia. Por lo tanto, todo movimiento existe en referencia al observador, así que no hay forma de distinguir si estamos realmente en reposo o en movimiento, por que sin un sistema de referencia el concepto de movimiento no tiene significado. A esto se le conocía como el principio de **relatividad newtoniana.**

**Sistemas inerciales de referencia**
En un principo la relatividad especial se desarrollo considerando sistemas inerciales de referencia, que son sistemas de referencia que se mueven a velocidad constante con respecto a otros. Como se muestra a continuación: Al observar la caída de una esfera y nuestro observador (primer sistema de referencia) se encuentra estático, las ecuaciones de movimiento serían: math x(t)=0

math math y(t)=y_0 + v_y t-\frac{1}{2}gt^2

math



Ahora consideramos que nuestro observador (segundo sistema de referencia) se encuentra caminando con una velocidad constante, y sus ecuaciones de movimiento serían: math x(t)=x_0 + v_x t

math math y(t)=y_0 + v_y t-\frac{1}{2}gt^2

math



Teoría especial de la relatividad
Albert Einstein propúso la teoría general de la relatividad, en la que trata problemas con relación a sistemas de referencia acelerados respecto a otros. La [|teoría de la relatividad especial] se basa en dos postulados:
 * 1) Las leyes físicas se pueden expresar mediante ecuaciones que tienen la misma forma en todos los sistemas de referencia que se mueven a velocidad constante unos con respecto a otros. Esto implica que no hay un sistema de referencia universal, por lo tanto, no es posible detectar el movimiento absoluto.
 * 2) La velocidad de luz en el espacio libre tiene el mismo valor para todos los observadores, independientemente de su estado de movimiento.

**La dilatación del tiempo**
Consideremos el siguiente reloj para medir el tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia (Figura 1).



En este reloj se tienen dos espejos encontrados y separados a una distancia L 0. Entre los dos espejos se refleja, de un lado para otro, un pulso luminoso y a uno de ellos se une un dispositivo para detectar la incidencia del pulso.

Ahora nos preguntamos: ¿Cuánto tiempo transcurriría si el reloj se encuentra en movimiento de acuerdo con la medición de un observador desde la Tierra con un reloj similar que está en reposo con respecto a él? La trayectoría del pulso luminoso del reloj que se encuentra en la Tierra sería una trayectoria recta (Figura 2).

El tiempo propio del reloj sería: math t_0 = \frac{2 L_0}{c}

math

En el caso del reloj que se encuentra en una nave espacial que está en movimiento a una velocidad v, observamos que el recorrido del pulso sería en zig zag (Figura 3).

Observamos que a la mita del tiempo t, se forma un triángulo rectángulo con la distancia que recorre la luz, la que recorren los espejos y la distancia entre ellos, empleando el teorema de Pitágoras, tenemos: math (\frac{ct}{2})^2 = L_0^2 + (\frac{v t}{2})^2 math

Al despejar esta expresión tenemos: math (\frac{t}{2})^2 (c^2 - v^2) = L_0^2 math math t^2=\frac{(2 L_0)^2}{c^2-v^2}=\frac{(2 L_0)^2}{c^2(1-v^2/c^2)} math math t=\frac{2L_0/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}} math

Vemos que 2L 0 /c es el intervelo de tiempo t 0 en el reloj que está en reposo. Si lo sustituimos en la ecuación anterior tenemos: math t=\frac{t_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} math

Esto se conoce como la **dilatación del tiempo**.

Paradoja de los gemelos
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Esto no implica que se esta viajando en el tiempo, simplemente que la medida del tiempo es relativa al sistema de referencia.

Contracción de la longitud
Las mediciones de longitudes así como las de interevalos de tiempo se alteran por el movimiento relativo. La longitud L de un objeto en movimiento con respecto a un observador aparece siempre a los ojos de éste como menor que su longitud L 0 cuando está en reposo a él, fenómeno que se conoce como contracción de **Lorentz-Fitzgerald**. Esta contracción sólo ocurre en la dirección del movimiento relativo.

Para observar la contracción de Lorentz, utilizamos el mismo reloj (Figura 1) orientado el recorrido del pulso en paralelo a la velocidad de desplazamiento (Figura 4).

En el t 1 la distancia recorrida por el pulso luminoso es equivalente al desplazamiento de los espejos y la longitud de separación entre ellos L.

math c t_1 = L + v t_1 math

Despejando tenemos: math t_1 = \frac{L}{c-v} math

Ahora consideramos la trayectoria de regreso del pulso luminoso en el tiempo t: math c(t-t_1) = L - v(t-t_1) math

Despejamos: math t= \frac{L}{c+v}+t_1 math

Al sustituir lo que obtuvimos en la ecuación anterior: math t= \frac{L}{c+v}+\frac{L}{c-v}= \frac{2 L c}{c^2-v^2}= \frac{2L/c}{1-v^2/c^2} math

En la sección de dilatación de tiempo encontramos otra ecuación para t: math t = \frac{2L_0/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}} math

Igualando estas ecuaciones tenemos: math \frac{2L_0/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \frac{2L/c}{1-v^2/c^2} math

Al despejar obtenemos la contracción de Lorentz: math L = L_0 \sqrt{1- v^2/c^2} math

Con esto llegamos a las ecuaciones que nos permiten hacer la transformación de un sistema S a un sistema S', respetando los postulados de la relatividad especial:

Supongamos que estamos en un sistema de referencia S y encontramos que las coordenadas de un evento que ocurre en el tiempo t son x, y, z. Un observador situado en un sistema de referencia diferente S' que se mueve con respecto a S a la velocidad constante v, encontrará que el mismo evento ocurre en el tiempo t' y sus coordenadas son x', y', z'.



La transformación de coordenadas del sistema S al S' sería: math x'=x-Vt math math y'=y math math z'=z math math t'=t math

Este conjunto de ecuaciones se conoce como la **transformación de Galileo**.

Para convertir las componentes de velocidad medidas en el sistema S a sus equivalentes en el sistema S', tenemos: math V'_x=\frac{dx'}{dt} = V_x-V math math V'_y=\frac{dy'}{dt} = V_y math math V'_z=\frac{dz'}{dt} = V_z math

Transformación de Lorentz
Sin embargo, observamos que la transformación de Galileo viola los postulados de la relatividad especial. "La velocidad de la luz debe ser la misma en cualquier sistema de referencia". math c'=c-v math

Por esa razón, tenemos que utilizar otro esquema de transformación en donde la velocidad de la luz sea la misma para todos los sistemas de referencia. Suponemos la siguiente transformación: math x'=k(x-vt) math

Y su transformada inversa seria: math x=k(x'+vt') math

Para las demás coordenadas serían de la misma forma que la transformación de Galileo: math y'=y math math z'=z math

Sin embargo, las coordenadas de tiempo t y t' no son iguales. Si sustituimos en la ecuación de transformada inversa el valor de x', tenemos: math x=k^2(x-vt)+kxt' math donde vemos que: math t' = kt + ( \frac{1-k^2}{kv} ) x math

Considerando el segundo postulado es posible calcular k. En el sistema S tenemos: math x=ct math mientras que en el sistema S': math x' = c t' math

Sustituyendo x' y t' tenemos: math k(x-vt) = ckt + ( \frac{1-k^2}{kv} ) cx math y despejando x: math x = \frac{ckt+vkt}{k - (\frac{1-k^2}{kv}) c} = ct [ \frac{ 1 + \frac{v}{c}}{1-(\frac{1}{k^2}-1)\frac{c}{v}} ] math

Para mantener la igualdad que proponemos necesitamos que cumpla con: math \frac{ 1 + \frac{v}{c}}{1-(\frac{1}{k^2}-1)\frac{c}{v}} = 1 math Si de aquí despejamos k tenemos la igualdad que cumpla con esta condición: math k = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} math

Con esto obtenemos una transformación de un sistema S a S' que no violan los postulados de la relatividad especial:

math x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} math math y'=y math math z'=z math math t'=\frac{t - \frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} math

Esto se conoce como la **transformación de Lorentz**.

La transformada inversa de Lorentz
math x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} math math y=y' math math z=z' math math t=\frac{t' + \frac{vx'}{c^2}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} math

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Relatividad de la masa y la energia