Relatividad+de+la+masa+y+la+energia

=Relatividad de la masa=

Si consideramos un choque elástico (choque en el que se conserva la energía cinética) entre dos partículas A y B, vista por observadores situados en los sistemas de referencia S y S' que se encuentran en movimiento relativamente uniforme. Las propiedades de A y B son idénticas en sistemas de referencia en los que se encuentran en reposo. Sin embargo, las propiedades cambian al emplear un sistema que se mueve a velocidad constante.



En estos sistemas los choques se verian diferentes.

Antes del choque la partícula A se encuentra en reposo en S y la partícula B en S'. Así, en el mismo instante, A se lanza en el sentido +y a la velocidad V A, mientras que B se lanza en el sentido -y' con una velocidad V' B , donde: math V_A = V'_B math De aquí que el comportamiento de A, visto desde S, sea exactamente el mismo que el de B visto desde S' (Figura 2). Cuando dos partículas chocan, A rebota en el sentido -y a la velocidad V A, mientras que B rebota en el sentido +y' a la velocidad V' B. Si las partículas se lanzan desde posiciones separadas por una distancia Y, el tiempo T 0 que invierte A en el recorrido de ida y vuelta, medido en el sistema S, es de: math T_0 = \frac{Y}{V_A} math y es el mismo para B en S': math T_0 = \frac{Y}{V'_B} math Para que se conserve el momentum en el sistema S, entonces se debe cumplir que: math m_A V_A = m_B V_B math donde m A y m B son las masas de A y B, y V A y V B sus velocidades medidas en el sistema S. Consideramos que: math V_B = \frac{Y}{T} math donde T es el tiempo que tarda B en efectuar su recorrido de ida y vuelta medido desde S. Sin embargo, en S', el recorrido de B requiere el tiempo T 0, donde: math T= \frac{T_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} math Esta es la transformación empleada para la dilatación del tiempo. Sustituyendo T en la ecuación tenemos: math V_B = \frac{Y \sqrt{1-v^2/c^2} }{T_0} math De V A tenemos: math V_A = \frac{Y}{T_0} math Sustituyendo estas ecuaciones en la del momentum tenemos: math m_A = m_B \sqrt{1-v^2/c^2} math

La diferencia entre las masas significa que las medidas de masa, así como las de espacio y tiempo, dependen de la velocidad relativa entre el observador y lo que él observa. Finalmente hacemos un cambio de variables: math m=m_B math math m_o= m_A math De esta forma llegamos a la deducción de la **masa relativista**.

math m= \frac{m_o}{\sqrt{1-v^2/c^2}} math

=Deducción de la energía relativista=

De la segund ley de Newton, tenemos: math F= \frac{d}{dt} (mv) math

También sabemos que la energía cinética T se define como: math T = \int_o^s F ds = T = \int_o^s \frac{d}{dt} (mv) ds = \int_o^v v d(mv) = \int_o^v v d(\frac{m_ov}{\sqrt{1-v^2/c^2}}) math Integrando por partes: math \int xdy = xy - \int y dx math Así tenemos: math T = \frac{m_o v^2}{\sqrt{1- v^2/c^2}} - \int_o^v \frac{m_o v }{\sqrt{1- v^2/c^2}} dv math math T= \frac{m_o v^2}{\sqrt{1- v^2/c^2}} - m_o c^2 math

math T= mc^2 - m_o c^2 math

Si consideramos la energía como E=mc2: math T = E - E_o math Siendo E0=m0c2 la energía en reposo. math E = T + E_o math De la ecuación de la energía cinética tenemos: math T= \frac{m_o v^2}{\sqrt{1- v^2/c^2}} - m_o c^2 math y aplicando el binómio de Newton tenemos: math (1 \pm x) ^n = 1 \pm nx math De esta forma, llegamos a la siguiente ecuación: math T = \frac{1}{2} m_o v^2 math Finalmente llegamos a la deducción de la energía relativista: [[math]] E = m_o c^2 + \frac{1}{2} m v^2 [[math]]

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