Ondas+de+De+Broglie

=Ondas de De Broglie=

Un fotón de luz, de frecuencia //ʋ //, tiene un momentum de: math p= \frac{h \nu}{c} math

que se puede expresar en función de la longitud de onda λ como: math p=\frac{h}{\lambda} math despejando obtenemos: math \lambda = \frac{h}{p} math

Además sabemos que el momentum de una partícula de masa (m) y velocidad (v) es: math p=mv math y, en consecuencia, su longitud de onda de De Broglie es: math \lambda = \frac{h}{mv} math

Cuanto mayor es el momentum de una partícula, menor es su longitud de onda. Cuando la velocidad de la partícula es cercana a la de la luz hacemos referencia a la masa relativista: math m= \frac{m_o}{\sqrt{1-v^2/c^2}} math

Función de onda
La cantidad variable que caracteriza las ondas de De Broglie se conoce con el nombre de función de onda (Ψ ). El valor de la función de onda asociada con un cuerpo en movimiento en un punto en particular (x,y,z) y en un instante (t), está relacionado con la probabilidad de encontrar el cuerpo en aquel punto y en ese instante. La función de onda por sí sola no representa ninguna cantidad física observable.

Sin embargo, cuando empleamos el cuadrado del valor absoluto de la función de onda (|Ψ| 2 ) definimos esta cantidad como la densidad de probabilidad. La probabilidad de encontrar experimentalmente el cuerpo descrito por la función de onda es proporcional al valor de |Ψ| 2 en ese punto e instante. Mientras más grande sea el valor mayor es la probabilidad de encontrarlo. Esta interpretación fue hecha por Max Born en 1926.

La función de onda puede ser expresada como una función real (densidad real) o complejo. En el caso que la función de onda sea compleja: math \Psi = A+ iB math donde A y B son funciones reales. Y su complejo conjugado es: math \Psi^* = A - i B math Y por tanto, math \Psi^* \Psi = A^2 + B^2 math Así que esta siempre será una cantidad real positiva, por lo tanto, es una cantidad observable.

Velocidad de onda de De Broglie
Puesto que hemos asociado las ondas de De Broglie con un cuerpo en movimiento, es razonable suponer que estas ondas se propagan a la misma velocidad v del cuerpo. Si llamamos ω a la velocidad de propagación de la onda de De Broglie, podremos aplicar la fórmula: math \omega = \nu \lambda math (1) para determinar su valor. La longitud de onda λ es la longitud de onda de De Broglie. math \lambda = \frac{h}{m v} math La frecuencia viene dada por la ecuación cuántica math E=h \nu math Y sabemos que: math E=mc^2 math Sustituyendo esto y despejando tenemos: math \nu = \frac{mc^2}{h} math

Al despejar esto en la ecuación (1) tenemos: math \omega = \frac{c^2}{v} math

Ahora observamos que y nunca son iguales para un cuerpo en movimiento. Para comprender mejor esto partiremos de la descripción matemática de una onda. math y = A cos 2 \pi \nu t math



Haciendo un estudio más compleo del movimiento ondulatorio en una cuerda extendida nos diría, sin embargo, cuál es el calor de y en cualquier punto de la cuerda y en cualquier momento. Nos interesa una fórmula que nos dé y en función tanto de x como de t. Para obetener esta fórmula, imaginemos que hacemos vibrar la cuerda en x=0 cuando t=0, de modo que una onda inicie su propagación en el sentido +x. Esta onda tiene cierta velocidad ω, que depende de las propiedades de la cuerda.



La onda recorre la distancia x=ω t en el tiempo t; por tanto, el intervalo de tiempo entre la formación de la onda en x=0 y su llegada al punto x en x/ω. En consecuencia, el desplazamiento y de la cuerda para cualquier momento t es exactamente el mismo que el valor de y en x=0 en un momento anterior t-x/ω. Por simple sustitución de t por t-x/ω en la ecuación anterior, tenemos: math y=A cos 2 \pi \nu (t - \frac{x}{\omega} ) math math y=A cos 2 \pi ( \nu t - \frac{\nu x}{\omega} ) math Ya que: math \omega = \nu \lambda math tenemos: math y= A cos 2 \pi ( \nu t - \frac{x}{\lambda} ) math

Podemos reescribir esta fórmula de la siguiente forma: math y= A cos ( ft - kx) math (1) siendo: math f = 2 \pi \nu math Frecuencia angular math k= \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{f}{\omega} math Constante de propagación o número de onda

La unidad de ω es rad/s y la de k es rad/m.

Velocidad de fase y de grupo
La amplitud de las ondas de De Broglie de un cuerpo en movimiento refleja la probabilidad de que a éste se le encuentre en un punto y en un momento determinados. Es algo que las ondas de De Broglie no se pueden representar por una fórmula similar a (1) que describe una serie indefinida de ondaa de la misma amplitud A. En realidad, esperamos que la representación de la onda de un cuerpo en movimiento corresponda a un paquete de ondas o grupo de ondas (Figura 3).



La manera de explicar esto es considerando la suma de dos ondas que difieren en su frecuencia angular y en su sonstante de propagación //df// y //dk//, respectivamente: math y_1 = A cos (ft - kx) math math y_2 = A cos[ ( f +df)t - (k+dk)x ] math



math y=y_1 + y_2 math Considerando la identidad: math cos \alpha + cos \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2} math De esta forma tenemos: math y = 2 A cos (f t - kx) cos(\frac{d f}{2} t - \frac{d k}{2} x) math

Puesto que df y dk son pequeños, comparados con f y k tenemos: math 2 f + df \approx 2 f math math 2 k + dk \approx 2 k math Así tenemos: math y = 2 A cos (ft-kx) cos ( \frac{df}{2} t - \frac{dk}{2} x ) math Aquí se deduce que la velocidad de fase ω es la relación: math \omega = \frac{f}{k} math Y la velocidad de grupo //u//: math u = \frac{df}{dk} math

La frecuencia angular y la constante de propagación de las ondas de De Broglie, asociadas con un cuerpo en movimiento de masa en reposo m o y velocidad v, son: math \omega = 2 \pi \nu = \omega = \frac{2 \pi m c^2}{h} = \omega = \frac{2 \pi m_o c^2}{h \sqrt{1-v^2/c^2}} math y math k = \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{2 \pi m v}{h} = \frac{2 \pi m_o v}{h \sqrt{1-v^2/c^2}} math

De aquí llegamos a la conclusión que: math \omega = \frac{f}{k} = \frac{c^2}{v} math Esta fue la conclusión que habiamos encontrado para la velocidad de onda de De Broglie.

En cambio para la velocidad de grupo (//u//) de las ondas de De Broglie asociadas con el cuerpo es: math u= \frac{df}{dk} = \frac{df/dv}{dk/dv} math math \frac{df}{dv} = \frac{ 2 \pi m_o v}{h (1-v^2/c^2)^{3/2}} math math \frac{dk}{dv} = \frac{ 2 \pi m_o }{h (1-v^2/c^2)^{3/2}} math

Por lo tanto, la velocidad de grupo es: math u=v math Esto implica que el grupo de ondas de De Broglie asociado con un cuerpo en movimiento se propaga con la misma velocidad de éste.

Difracción de partículas