Principio+de+incertidumbre

=El principio de incertidumbre=

El hecho de que un cuerpo en movimiento se considere como un grupo de ondas de De Broglie en vez de como una entidad localizada, sugiere que existe un límite fundamental para la precisión con que podemos medir sus propiedades corpusculares.



En la Figura 1 se muestran un grupo de ondas de De Broglie. Si el grupo es muy estrecho la posición de la partícula se determina con facilidad, pero es imposible determinar su longitud de onda, Por el contrario, si el grupo es ancho, permite un cálculo satisfactorio de la longitud de onda, pero no se puede determinar la posición de la partícula.

Un argumento lógico, que se basa en la naturaleza de un grupo de ondas, nos permite relacionar la incertidumbre Δx inherente a la medición de la posición de una partícula con la incertidumbre Δp inherente a la medición simultánea de su momentum.

Para verificar esto, consideraremos dos trenes de onda: math \Psi_1 = A cos ( ft -kx ) math math \Psi_2 = A cos [ ( f + \Delta f) t - (k + \Delta k) x] math

De modo que el grupo de onda esta declarado como: math \Psi = \Psi_1 + \Psi_2 \approx 2A cos (ft -kx) cos(\frac{\Delta f}{2} t - \frac{\Delta k}{2} x) math

La extensión de cada grupo es evidentemente igual a la mitad de la longitud de onda λ m de la modulación. Se puede suponer razonablemente que esta extensión es del mismo orden de magnitud que la incertidumbre Δx inherente a la posición del grupo, es decir: math \Delta x \approx \frac{\lambda_m}{2} math La longitud de onda de la modulación está relacionada con su constante de propagación k m por: math \lambda_m = \frac{2 \pi}{k_m} math Y vemos que la constante de propagación de la modulación es: math k_m = \frac{\Delta k}{2} math con lo que resulta que: math \lambda_m = \frac{2 \pi}{\Delta x /2} math y math \Delta x = \approc \frac{2 \pi}{\Delta k} math

Esto nos lleva a la siguiente conclusión: math \Delta x \Delta k \approx 2 \pi math Un cuerpo en movimiento corresponde a un grupo de ondas único, no a una sucesión de ellos, pero también se puede considerar a un grupo de ondas único como una sucesión de trenes de ondas armónicas. Sin embargo, se requiere de un número infinito de trenes de onda de frecuencia constantes de propagación y amplitudes diferentes para fomar un grupo aislado de forma arbitraria.

Para realizar esto consideremos que el grupo de onda se puede representar por la integral de Fourier: math \Psi(x) = \int_o^\infty g(k) cos( kx) dk math donde la función g(k) describe la forma en que varía las amplitudes de las ondas.



La relación entre la distancia Δx y la extensión de la constante de propagación Δk depende de la forma del grupo de ondas y de cómo se definen Δx y Δk. Se tiene que el valor del producto ΔxΔk cuando el grupo presenta la froma de una función de Gauss, en cuyo caso su transformación de Fourier es también una función de Gauss. Si consideramos Δx y Δk como desviaciones normales de sus funciones respectivas Ψ(x) y g(k). En general: math \Delta x \Delta k \approx 1 math (1) La longitud de onda de De Broglie de una partícula de momentum p es: math \lambda = \frac{h}{p} math La constante de propagación correspondiente a esa longitud de onda es: math k = \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{ 2 \pi p}{h} math

Por tanto, una incertidumbre Δk en la constante de propagación de las ondas de De Broglie asociadas con una partículade por resultado una incertidumbre Δp en el momentum, según la fórmula: math \Delta p = \frac{h \Delta k}{2 \pi} math (2)

De (1) sustituimos Δk en (2) así tenemos: math \Delta x \Delta p \geq \frac{h}{2 \pi} math Principio de incertidumbre Observamos que estas incertidumbres son mínimos irreducibles como consecuencia de la naturaleza ondulatoria de los cuerpos en movimiento; cualquier incertidumbre instrumental o estadística que se produzca durante el curso de la medición incrementa solamente su producto. Esto se conoce como el principio de incertidumbre obtenido por Werner Heisenberg en 1927. En él se establece que no podemos medir con absoluta precisión, simultáneamente, la posición y el momentum.

Finalmente introduciremos una nueva relación: math \hbar = \frac{h}{2 \pi} = 1.054 \times 10^{-34} Js math

Otra deducción corresponde es el principio de incertidumbre de la energía: math \Delta E \Delta t \geq \hbar math

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Dualidad Onda-Partícula