Ecuación+de+Schrodinger

=La ecuación de Schrödinger=

Forma dependiente del tiempo
Consideremos la solución a la ecuación de onda: math \Psi = A e^{-if(t - x/v)} math

Si consideramos: math f=2 \pi \nu math math v = \lambda \nu math

Así tenemos: math \Psi = A e^{-2 \pi i (\nu t - x/ \lambda)} math

Sabemos que la energía E y el momentum p: math E = h \nu = 2 \pi \hbar \nu math math \lambda = \frac{h}{p} = \frac{2 \pi \hbar}{p} math

Tenemos: math \Psi = A e^{-(i/\hbar) (Et- px)} math Si diferenciamos: math \frac{d^2 \Psi}{dx^2}=-\frac{p^2}{h^2} \Psi math math \frac{d \Psi}{dt}=-\frac{i E}{h} \Psi math La energía total E. math E= \frac{p^2}{2m} + V math math E \Psi= \frac{p^2}{2m} \Psi + V \Psi math Siendo V la energía potencial.

math E \Psi= \frac{p^2}{2m} \Psi + V \Psi math math E \Psi = -\frac{\hbar}{i} \frac{d \Psi}{dt} math math p^2 \Psi = - \hbar^2 \frac{d^2 \Psi}{dx^2} math math i \hbar \frac{d \Psi}{dt} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + V \Psi math Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en una dimensión

A continuación se muestra la extensión de la ecuación de Schrödinger para tres dimensiones: math i \hbar \frac{d \Psi}{dt} = -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{d^2 \Psi}{dx^2} +\frac{d^2 \Psi}{dy^2} +\frac{d^2 \Psi}{dz^2} \right) + V \Psi math

La ecuacion de Schrödinger representa un primer principio de los postulados de la mecánica cuántica.

En la practica, la ecuación de Schrödinger ha resultado completamente precisa para la predicción de resultados experimentales.

Valores probables
La ecuación de Schrödinger resultante contine toda la información sobre la partícula permitida por el principio de incertidumbre.

Por ejemplo, si quisieramos calcular el valor probable de la posición  de una partícula limitada al eje x que está descrita por la función de onda Ψ(x,t). Tendriamos: math = \frac{\int_{-\infty}^\infty x | \Psi |^2 dx}{ \int_{-\infty}^\infty | \Psi |^2 dx } math Siendo que parte de las condiciones para la función de onda es que sea normalizada: math \int_{-\infty}^\infty | \Psi |^2 dx = 1 math

Esto implica que el denominador va a ser 1, por lo tanto: math = \int_{-\infty}^\infty x | \Psi |^2 dx math

Siguiendo el mismo procedimiento podemos deducir cualquier valor probable  de cualquier cantidad. math = \int_{-\infty}^\infty G(x) | \Psi |^2 dx math Valor probable

La forma en estado estacionario
Tenemos la función de onda unidimensional: math \Psi = A e^{-(i/\hbar) (Et- px)} math Realizamos una separación de la parte estacionaria y la dependiente del tiempo. math \Psi = A e^{-(iE/\hbar)t} e^{(ip/\hbar)x} math math \Psi = \psi e^{-(iE/\hbar)t} math

Sustituyendo en la ecuación: math E \Psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + V \Psi math math E \psi e^{-(iE/\hbar)t} = -\frac{\hbar^2}{2m} e^{-(iE/\hbar)t} \frac{d^2 \psi}{dx^2} + V \psi e^{-(iE/\hbar)t} math

Así tenemos la ecuación de Schrödinger en estado estacionario: math \frac{d^2 \psi}{dx^2} + \frac{2m}{\hbar^2}(E - V) \psi = 0 math math \frac{d^2 \psi}{dx^2} + \frac{d^2 \psi}{dy^2} + \frac{d^2 \psi}{dz^2} + \frac{2m}{\hbar^2}(E - V) \psi = 0 math Ecuación de Schrödinger en estado estacionario para tres dimensiones

En general, la ecuación de Schrödinger en estado estacionario se puede resolver para algunos valores de la energía E, cuestión que ya habiamos mencionado cuando hablamos de los niveles de energía.

La manera análoga de verificar esto es cuando consideramos las ondas estacionarias en un hilo estirado sujeto por ambos extremos (Figura 1).



Observamos que sólo ciertos valores son permitidos pueden existir para ciertas longitudes de onda λ.

Los valores de energía E n para lo que se puede resolver la ecuación de Schrödinger recibe el nombre de eigenvalores y las funciones de onda correspondientes ψ n reciben el nombre de eigenfunciones. Un ejemplo de conjunto de eigenvalores lo consituyen los niveles de discretos de energía del átomo de hidrógeno.

math E_n = - \frac{me^4}{8 \epsilon_o^2 h^2} (\frac{1}{n^2} ) math n=1, 2, 3, ... Niveles de energía